三相永磁同步电机之有限元法的基本原理

有限元法的基本思想是：首先将偏微分方程的边值问题等价为条件变分问题；再利用合适的单元类型对求解区域进行剖分，在单元上构造相应的插值函数，对各个单元进行单元分析，得到各单元内能量的表达式和单元能量对3个节点磁位的导数；然后对所有单元的分析结果进行总体合成，将能量泛函的极值问题转化为多元能量函数的极值问题，建立以各节点磁位为变量的代数方程组，并按第一类边界条件进行修正；最后求解该方程组，得到各节点的磁位，进而得到相应的磁场量。

下面以二维恒定磁场为例说明有限元法求解磁场问题的基本原理。

一、条件变分问题

根据变分原理，可将偏微分方程的边值间题等价为条件变分问题，即能量泛函的极值问题。与式（4一17）对应的条件变分问题为。偏微分方程的边值问题等价为条件变分问题后，边界条件发生了变化，第一类边界条件仍作为附加条件列出，称为强加边界条件；第二类边界条件体现为一项线积分，自动满足，称为自然边界条件；求解区域内部媒质分界线上的边界条件也由能量泛函求极值自动满足，也是自然边界条件。自然边界条件不再在条件变分中列出。

二、剖分插值

剖分就是利用合适的单元类型将求解区域划分为有限个单元。在求解二维场时，普遍采用三节点三角形单元，将三角形的3个顶点作为节点，虽然精度稍差，但能满足一般工程问题的需要。有限元计算的精度取决于剖分的合理性和疏密程度，在进行剖分时，需注意以下问题：

( l）三角形单元不可重叠。

( 2）对于边界或内部交界面上的三角形，只能有一条边在边界上。

( 3）当边界或内部交界面为曲线时，用相应的折线段近似代替曲线段。

( 4）任意一个三角形的顶点必须同时是其相邻三角形的顶点。

( 5）若边界上有不同的边界条件，它们的交界点应是三角形的顶点。

( 6）一个三角形的三条边的长度不要悬殊太大，尽量为锐角三角形。

( 7）在场梯度较大的地方，剖分得细密些；而在场梯度较小的地方，剖分得稀疏些。

图4一3为一个三角形单元，三角形3个顶点（节点）逆时针方向编号。在三角形单元内部，任一点的磁位A二可以通过以下的线性插值函数得到。

三、单元分析

对求解区域内的每一个单元，分别计算其能量函数对3个节点磁位的一阶导数。当该单元的所有边都不在第二类边界上时，其能量泛函只有重积分，没有线积分。将式（4一24 )代入式（4一18 )，并求能量泛函对3个节点磁位的导数，得。

四、总体合成

建立一个nxn的系数矩阵［月和一个n行的矩阵｛P }，其中n为求解区域的总节点数，将其所有的元素清零，然后将各单元系数矩阵和向量的各元素分别按其下标的地址叠加到系数矩阵，得到。

五、强加边界条件的处理

考虑到强加边界条件，需要对式（4一31）进行修改。设第k ‘个节点为第一类边界条件上的节点，其磁位已知为A解。，则式（4一31）中第澎个方程变为，同时其他方程变为。

六、方程组求解

求解式（4一33 )，即可得到求解区域内所有节点的磁位，进而根据式（4一24）得到相应的场量。